Was ist Dithering? Verwenden von Dithering zur Beseitigung von Quantisierungsverzerrungen

Manchmal kann elektronisches Rauschen ein Segen sein. In diesem Artikel werfen wir einen Blick auf „Dithering“, das sich auf eine Technik bezieht, bei der dem Signal eine entsprechende Rauschkomponente hinzugefügt wird, um die Leistung des A/D-Umwandlungssystems (Analog-zu-Digital) zu verbessern.

Die meisten EEs sind mit Methoden zur Begrenzung des Rauschpegels in elektronischen Schaltkreisen vertraut. Filterung ist eine gängige Technik, mit der eine Rauschkomponente eliminiert oder zumindest deren Bandbreite begrenzt werden kann. Bei bestimmten Anwendungen, wie etwa rauschunterdrückenden Kopfhörern und rauschunterdrückenden rauscharmen Verstärkern (LNAs), können wir sogar die dominante Rauschkomponente messen und sie vom Systemausgang subtrahieren, um die gewünschte Leistung zu erzielen.

Trotz dieser Anwendungen gibt es Analog-Digital-Umwandlungssysteme, bei denen wir Rauschen benötigen, um die Schaltungsleistung zu verbessern. Diese als Dithering bekannte Signalverarbeitungstechnik fügt dem ADC-Eingang (Analog-Digital-Wandler) bewusst ein Rauschsignal mit geeigneter PDF (Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) und PSD (Leistungsspektraldichte) hinzu (vor der Abtastung und Quantisierung), um bestimmte Werte zu verbessern Leistungsaspekte des Systems. Abbildung 1 zeigt das vereinfachte Blockdiagramm eines Dithering-Systems (das Diagramm stellt eine Art Dithering dar, das als nicht-subtraktives Dithering bekannt ist).

Wenn man zum ersten Mal etwas über Dithering lernt, kommt es einem möglicherweise nicht intuitiv vor, dass ein gewisser Geräuschpegel in bestimmten Situationen tatsächlich hilfreich sein kann. Die Dithering-Technik kann für drei verschiedene Zwecke angewendet werden:

In diesem Artikel diskutieren wir, wie Dithering einen idealen Quantisierer verbessern kann, indem die statistische Korrelation zwischen dem Quantisierungsfehler und dem Eingangssignal aufgebrochen wird. Zuvor müssen wir uns jedoch mit dem ADC-Quantisierungsrauschen befassen.

Ein ADC stellt einen kontinuierlichen Bereich analoger Werte über mehrere diskrete Ebenen dar, was naturgemäß einen Fehler hinzufügt, der als Quantisierungsfehler bekannt ist. Es wurden umfangreiche Untersuchungen durchgeführt, um diesen Fehler vollständig zu verstehen. Die Forschungsgeschichte geht tatsächlich auf eine Arbeit von WR Bennett aus dem Jahr 1948 zurück: „Spectra of Quantized Signals“. Heute ist allgemein bekannt, dass der Quantisierungsfehler unter bestimmten Bedingungen als additives Rauschen mit einer gleichmäßigen Verteilung zwischen \(\pm \frac{LSB}{2}\) LSB2 modelliert werden kann (LSB bezeichnet das niedrigstwertige Bit von des Konverters).

Außerdem wird davon ausgegangen, dass das Quantisierungsrauschen weißes Rauschen ist (d. h. gleichmäßig über die Nyquist-Bandbreite dc bis fs/2 verteilt) mit einer Gesamtleistung von \(\frac{LSB^{2}}{12}\). Die Eigenschaft des flachen Spektrums basiert auf der Annahme, dass die Quantisierungsfehlerproben nicht miteinander korreliert sind.

Wir werden dieses Modell des Quantisierungsfehlers in diesem Artikel als „Quantisierungsrauschmodell“ bezeichnen. Wir werden kurz diskutieren, dass das Quantisierungsrauschmodell nicht immer gültig ist; Für viele praktische Anwendungen ist es jedoch noch genau genug. Das folgende Beispiel zeigt, warum EEs, die sich mit Datenkonvertern befassen, dieses Modell lieben!

Betrachten wir eine Anwendung, bei der die Referenzspannung des ADC 2 V beträgt. Nehmen wir an, dass das ADC-Eingangssignal ein Rauschen von 1 mV RMS (Effektivwert) aufweist. Bei einem 10-Bit-ADC beträgt das LSB \(\frac{2}{2^{10}}\) = 1,95 mV, und somit beträgt der Effektivwert des Rauschens 0,51 LSB.

Aus dem Quantisierungsrauschmodell wissen wir, dass die Quantisierungsoperation ein RMS-Rauschen von \(\frac{LSB}{\sqrt{12}}\) = 0,29 LSB hinzufügt.

Wie Sie sehen, ist das Quantisierungsrauschen mit dem Originalrauschen des Eingangs vergleichbar. Um die Gesamtrauschleistung des Systems zu ermitteln, sollten wir die Leistung der beiden Rauschquellen addieren:

\[P_{Rauschen, \text{ }total}=P_{Eingabe}+P_{Quantisierung}=(0,51 \text{ }LSB)^2+(0,29 \text{ }LSB)^2=0,34 \text{ } LSB^2\]

Wenn man aus diesem Wert die Quadratwurzel zieht, ergibt sich ein Effektivwert des Gesamtrauschens von 0,59 LSB. Wenn dieser Rauschpegel für unsere Anwendung nicht akzeptabel ist, können wir die ADC-Auflösung erhöhen, um das Quantisierungsrauschen zu reduzieren. Bei einem 12-Bit-ADC beträgt das Eingangsrauschen beispielsweise 2,05 LSB RMS. Verglichen mit dem Eingangsrauschen ist das Quantisierungsrauschen (0,29 LSB) nun nahezu vernachlässigbar. Der Gesamtrausch-RMS beträgt für dieses Beispiel 2,07 LSB. Ein 12-Bit-System scheint für diese Anwendung ausreichend Auflösung zu bieten.

Anhand des Gesamtrauschens in unserem Signal können wir das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) bei einer Wechselstromanwendung oder das minimal erkennbare Signal bei einer Messanwendung bestimmen. Der wichtige Punkt hierbei ist, dass wir mit dem Rauschmodell die Auswirkung des Quantisierungsprozesses auf die Rauschleistung des Systems leicht berücksichtigen können.

Als Randbemerkung sollte erwähnt werden, dass die obige Diskussion implizit davon ausgeht, dass das dominante Rauschen, das der ADC hinzufügt, das Quantisierungsrauschen ist. Dies ist nicht immer der Fall. Wenn wir die ADC-Auflösung erhöhen, wird das Quantisierungsrauschen immer kleiner. Irgendwann wird das Quantisierungsrauschen im Vergleich zum elektronischen Rauschen im ADC, das durch das thermische Rauschen und das Flimmerrauschen der internen Schaltung des ADC erzeugt wird, vernachlässigbar. Dies ist bei den heutigen hochauflösenden ΔΣ (Delta-Sigma) ADCs der Fall. Wenn das Quantisierungsrauschen vernachlässigbar ist, sollte das eingangsbezogene Spitze-zu-Spitze-Rauschen des ADC berücksichtigt werden, um die Rauschleistung des Systems zu analysieren.

Eine Implikation des Quantisierungsrauschmodells besteht darin, dass der Fehler nicht mit der Eingabe korreliert. Um dies besser zu verstehen, betrachten Sie die Wellenformen in Abbildung 2.

Die linke Kurve in der obigen Abbildung zeigt zwei Perioden einer 10-Bit-quantisierten Sinuswelle. Die rechte Kurve zeigt den Quantisierungsfehler. In diesem Beispiel beträgt das Verhältnis der Abtastfrequenz zur Eingangsfrequenz 150. Sie können durch visuelle Inspektion bestätigen, dass der Quantisierungsfehler periodisch ist (eine Periode wird durch das orangefarbene Rechteck angezeigt). Darüber hinaus besteht eine Korrelation zwischen dem Eingang und dem Quantisierungsfehlersignal. Daraus wissen wir, dass sich der Frequenzinhalt eines periodischen Signals auf ein Vielfaches der Grundfrequenz des Signals konzentriert. Das bedeutet, dass das Quantisierungsrauschmodell zwar erwartet, dass der Fehler ein flaches Frequenzspektrum aufweist, der Quantisierungsfehler jedoch einige starke Frequenzkomponenten aufweist.

Dies ist ein allgemeines Problem: Wenn der Eingang eine Sinuskurve ist und die Abtastfrequenz ein Vielfaches der Eingangsfrequenz ist, korreliert der Quantisierungsfehler mit dem Eingangssignal. Ein weiteres Beispiel ist in Abbildung 3 dargestellt.

Die linke Kurve zeigt das Spektrum eines idealen 12-Bit-ADC, wenn der Eingang eine 2-MHz-Sinuskurve ist und die Abtastfrequenz 80 MSPS beträgt. Die rechte Kurve zeigt das Spektrum desselben ADC für eine 2,111-MHz-Sinuskurve, abgetastet mit derselben Abtastfrequenz. Wie erwartet entstehen am Ausgang unterschiedliche Harmonische der Eingangsfrequenz, wenn das Verhältnis der Abtastfrequenz zur Eingangsfrequenz eine ganze Zahl ist. Für die linke Kurve beträgt der freie Dynamikbereich (SFDR) des Systems nur 77 dBc. Durch eine leichte Änderung der Eingangsfrequenz verschwinden die harmonischen Komponenten und wir erhalten ein grasartig aussehendes Grundrauschen.

Beachten Sie, dass der RMS-Wert des Quantisierungsfehlers in beiden Fällen gleich ist, was zu einem SNR von 74 dBc führt (der theoretische Wert, der mit einem 12-Bit-ADC erreichbar ist). In beiden Fällen stimmt der RMS-Fehler mit dem vom Quantisierungsrauschmodell \((\frac{LSB}{\sqrt{12}})\) vorhergesagten Wert überein. Allerdings ist das Frequenzspektrum des Fehlers im linken Diagramm nicht flach.

Die oben genannten harmonischen Komponenten sind ein Artefakt des Quantisierungsprozesses und stehen in keinem Zusammenhang mit der Leistung der ADC-Schaltung. Dies verdeutlicht einen wichtigen Vorbehalt bei ADC-Tests: Das Spektrum, das wir für einen Einton-Sinuswellen-Fast-Fourier-Transformationstest (FFT) erhalten, wird durch die Quantisierungsprozessartefakte beeinflusst, wenn das Eingangssignal ein exaktes Untervielfaches der Abtastfrequenz ist.

Zusammenfassend lässt sich sagen: Wenn der Quantisierungsfehler mit der Eingabe korreliert, können wir nicht davon ausgehen, dass der ADC nur das Grundrauschen der Eingabe erhöht. In diesem Fall ist das Quantisierungsrauschmodell nicht mehr gültig und der Quantisierungsprozess kann erhebliche harmonische Komponenten im Ausgangsspektrum erzeugen. Normalerweise bevorzugen wir, dass sich die Fehlerenergie über ein breites Frequenzband verteilt, anstatt sich auf bestimmte Frequenzen zu konzentrieren.

Die Quantisierung von Signalen mit niedriger Amplitude kann auch zu einer Korrelation zwischen Quantisierungsfehler und Eingabe führen. Eine Beispielanwendung, bei der Signale mit niedriger Amplitude ein Problem darstellen können, sind digitale Audiosysteme. Nehmen Sie an, dass die Amplitude des ADC-Eingangs auf 0,75 LSB abfällt, wie in Abbildung 4 dargestellt.

Wie Sie sehen können, nimmt das quantisierte Signal nur drei verschiedene Werte an und hat eine rechteckwellenartige Form. Wir wissen, dass das Spektrum einer Rechteckwelle verschiedene Harmonische der Grundfrequenz enthält. Im obigen Beispiel ist der Eingang eine 1,11-kHz-Sinuskurve und die Abtastfrequenz beträgt 400 kHz (bewusst viel höher gewählt als die, die das Abtasttheorem von Nyquist erfordert). Die FFT der Ausgabe ist in Abbildung 5 dargestellt.

Obwohl die Eingangsfrequenz (1,11 kHz) kein Teiler der Abtastfrequenz (400 kHz) ist, enthält das Spektrum erhebliche harmonische Komponenten. Diese Harmonischen sind in der vergrößerten Version des Spektrums in Abbildung 6 leichter zu erkennen.

Um die Dithering-Technik zu untersuchen, fügen wir dem obigen Signal Rauschen mit Dreiecksverteilung hinzu und quantisieren es dann. Die Breite des dreieckigen Dither-PDF (Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) wird mit 2 LSB angenommen. Die Wellenformen sind in Abbildung 7 dargestellt.

Im Zeitbereich scheinen die Informationen verloren zu sein, aber was ist mit dem Frequenzbereich? Das Spektrum des neuen quantisierten Signals (rote Kurve oben) ist in Abbildung 8 dargestellt.

Durch Dithering werden die harmonischen Komponenten eliminiert. Tatsächlich ist die Energie der harmonischen Komponenten über ein breites Frequenzband verteilt. Daher erwarten wir, dass das Grundrauschen leicht ansteigt, wenn wir die Dithering-Technik anwenden. Zusätzlich zu diesem Effekt trägt auch das dem Eingang hinzugefügte Dither-Rauschen zur Erhöhung des Grundrauschens bei.

Das obige Beispiel zeigt deutlich den Vorteil des Ditherings in Spektralanalyseanwendungen. Es ist jedoch interessant festzustellen, dass wir vom Dithering auch ohne Transformation des Signals in den Frequenzbereich profitieren können. Beispielsweise ist bei digitalem Audio die Zunahme des strukturlosen Hintergrundrauschens (aufgrund des Ditherings) wahrnehmungsmäßig weitaus akzeptabler als die durch den Quantisierer eingeführten künstlichen Harmonischen.

Eine Implikation des Quantisierungsrauschmodells besteht darin, dass der Quantisierungsfehler nicht mit der Eingabe korreliert. Wenn dies nicht der Fall ist, führt die Quantisierungsoperation zu einer Art Verzerrung, die manchmal als „Quantisierungsverzerrung“ bezeichnet wird. Durch Hinzufügen des Dither-Rauschens wird die Korrelation zwischen dem Quantisierungsfehler und der Eingabe eliminiert. Dadurch werden die durch die Quantisierungsoperation erzeugten harmonischen Komponenten eliminiert. Auf diese Weise kann Dithering die Leistung eines idealen Quantisierers verbessern. Wie oben erwähnt, wird Dithering auch für verschiedene andere Zwecke eingesetzt. Im nächsten Artikel dieser Reihe werden wir näher auf diese Diskussion eingehen.

Abschließend sei noch erwähnt, dass das Eingangssignal in den meisten Systemen ausreichend Rauschen aufweist, so dass das Hinzufügen von zusätzlichem Dither-Rauschen, um die Korrelation zwischen Quantisierungsrauschen und Eingang zu unterbrechen, nicht erforderlich ist. Außerdem könnte das eingangsbezogene Rauschen des ADC ausreichen, um den gleichen Dithering-Effekt zu erzeugen.

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